已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为

3个回答

  • 方法一、直接列方程求解(最基本但却是很笨的办法)

    设过A(4,0)的直线方程:y=kx+b

    则有,4k+b=0,b=-4k

    y=kx-4k

    x^2+K^2(x-4)^2=4

    x^2(1+k^2)-8k^2x+16k^2-4=0

    x1+x2=8k^2/(1+k^2)

    相切的条件:k=±√3/3

    x^2+(1/3)(x-4)^2=4,即,4x^2-8x+4=0,x=1

    BC中点的轨迹:

    令x=(x1+x2)/2,

    2x+2xk^2=8k^2,k^2=x/(4-x),k=±√[x(4-x)]/(x-4)

    y=k(x-4)=±√[x(4-x)]

    y^2=4x-x^2

    (x-2)^2+y^2-4=0

    即,(x-2)^2+y^2=2^2

    据上分析,定义域为:0≤x≤1

    方法二、作图法(简单快捷)

    自圆O作BC的垂线,垂足P.连接OB、OC

    因为OB=OC=2,三角形OBC是等腰三角形,OP是BC的中点

    在RtΔOPA中,连接斜边OA的中点Q、P

    则有,OQ=OP=QA=2

    可见,BC中点P与AO始终是直角三角形,且PQ恒等于2

    Q(2,0),P的轨迹是圆心为Q,半径为2的圆:

    (x-2)^2+y^2=2^2

    由于AB与圆O相切时,OP=2,OA=4,∠AOP=30度

    所以P(1,√3),即定义域:0=