Question

（2013•黄州区模拟）对于n∈N*，把n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak

Answer 1

解题思路：（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；

（2）分别令m=1，2，3，4，…，分析

2

m

−1

n＝1

a^I（n）的值随m变化的规律，归纳推理可得答案．

（1）根据题意，2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰=r，

（2）当m=1时，

2m−1

n＝1a^I（n）=

1

n＝1a^I（n）=a⁰=1=

(a+1)1−1

a；

当m=1时，

2m−1

n＝1a^I（n）=

3

n＝1a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰=a+2=

(a+1)2−1

a；

当m=1时，

2m−1

n＝1a^I（n）=

7

n＝1a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰=a²+3a+3=

(a+1)3−1

a；

当m=1时，

2m−1

n＝1a^I（n）=

15

n＝1a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰+a³+a²+a²+a²+a¹+a¹+a¹+a⁰=a³+4a²+6a+4=

(a+1)4−1

a；

…

归纳推理得：

2m−1

n＝1a^I（n）=

(a+1)m−1

a，

故答案为：r，

(a+1)m−1

a

点评：

本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义及2m−1n＝1aI（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．