Question

已知△ABC的一个顶点A（-1，-4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0

Answer 1

解题思路：（I）利用轴对称的知识建立关系式，解出点A关于直线l₁、l₂对称点A'、A″的坐标，再由直线方程的两点式列式，化简得到A'A″的方程x+2y-3=0，即为边BC所在直线的方程．再求出与BC垂直的直线的斜率，利用点斜式列式并化简，可得BC边上的高所在的直线的方程；

（II）根据题意，联解l₁、l₂的方程得到l₁、l₂的交点坐标，即为△ABC的内切圆的圆心．再由点到直线的距离公式求出圆心到BC边的距离，即为内切圆半径r，由此即可得到△ABC的内切圆方程．

（I）设点A（-1，-4）关于直线y+1=0的对称点为A'（x₁，y₁），

可得x₁=-1，[1/2]（-4+y₁）=-1，解得y₁=2×（-1）-（-4）=2，

∴A'坐标为（-1，2），

再设点A（-1，-4）关于l₂：x+y+1=0的对称点为A″（x₂，y₂），

可得

y2+4

x2+1•(−1)＝−1

x2−1

2+

y2−4

2+1＝0，

解之得x₂=3，y₂=0，

∴A″坐标（3，0），

∵∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0，

∴点A'与点A″都在直线BC上，

根据直线方程的两点式，得直线A'A″的方程为[y−2/0−2]=[x+1/3+1]，

化简得x+2y-3=0，即为边BC所在直线的方程，

∵直线BC的斜率k=-[1/2]，

∴BC边上的高所在的直线的斜率为k'=[−1/k]=2，

∵A点坐标为（-1，-4），

∴BC边上的高所在的直线的方程为y+4=2（x+1），

化简得2x-y-2=0；

（ II）根据题意，可得△ABC的内角平分线l₁与l₂的交点即为△ABC的内切圆的圆心，

联解

y+1＝0

x+y+1＝0，得

点评：

本题考点： 圆的标准方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．

考点点评： 本题给出三角形满足的条件，求直线BC的方程与BC边上高所在直线方程，并求三角形的内切圆方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．