正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点.

1个回答

  • ①求证:∠PDE=∠PED;

    证明:∵四边形ABCD是正方形

    ∴AB=AD

    AC平分∠BAD和∠BCD

    AC⊥BD

    ∴∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠CDB=45°

    又∵AP是公共边

    ∴△BAP≌△DAP

    ∴BP=DP

    ∴∠PBD=∠PDB

    又∵PB⊥PE,AC⊥BD

    ∴∠BPC+∠CPE=90°

    ∠BPC+∠PBD=90°

    ∴∠CPE=∠PBD

    ∴∠CPE=∠PDB

    又∵∠PDE=∠PDB+∠CDB

    ∠PED=∠CEP+∠ACD

    ∴∠PDE=∠PED

    ②线段PC、PA、CE之间存在一个等量关系PC-PA=(根号2)CE,证明这个结论;

    证明:过P作PM⊥DC,垂足为M

    过E作FE⊥DC,交AC于F

    则FE∥PD∥AD

    ∵∠PDE=∠PED

    ∴PD=PE

    ∴DM=EM

    ∴PA=PF

    又∵∠ACD=45°

    ∴⊿FEC是等腰直角三角形

    ∴FC= (根号2)CE

    又∵PC=PF+FC

    ∴PC-PA=(根号2)CE

    (2)如图2,若点P在线段OC上运动(不与点O、C重合),作PE⊥PB交直线CD于点E.判断(1)中的两个结论是否仍然成立?若不成立,写出相应的结论.

    (1)中的两个结论不成立

    因为点P在线段OC上运动(不与点O、C重合)时,垂直于PB的直线PE不与CD相交,而且

    PC-PA<0,故(1)中的两个结论不成立.