Question

已知等腰梯形ABCD中,M,N分别是腰ABCD的中点,BD=BC,BD⊥CA且交于E,求证：CE=MN.

Answer 1

连辅助线ME, EN,求证三角形MEN全等于三角形ENC由等腰梯形ABCD,易知：角ABC=角BCD腰AB=腰CD对角线AC=BD又已知BC=BD,得BC=BD=AC故角BCD=角EDC=角ABC=角EAB由AC垂直于BD,得：角AEB=角CED=90度因角角边相等,故可得三角形ABE全等于DEC由此推得BE=EC三角形BEC为等腰直角三角形即知角EBC=角ECB=45度由三角形外角等于三角形不相邻两内角合,可知角ENC=角EDN+角DEN因为直角三角形CED中的EN是斜边的中线,所以,EN=DN,故角EDN=角DEN进而推得角ENC=2倍的角EDN又角EDN=角BCD=角BCE+角ECN=45度+角ECN所以,角ENC=90度+2倍的角ECN <1>直角三角形AEB中的EM是斜边的中线,所以ME=MB角MEB=角MBE同理易证角CEN=角ENC由前面已证得角EBC=角ECB,角ABC=角DCB所以,角MBE=角NCE故而推得角MEB=角CEN=角MBE=角NCE也即角MEN=2倍的角ECN+90度 <2>由<1>,<2>可知,角ENC=角MEN又由等腰梯形,直角三角形中线定理,易证ME=EN=NC故由边角边相等,证得三角形MEN全等于三角形ENC也即MN=EC得证.