如图,
x0dΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于Dx0d∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）x0d以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'x0d∴DC’=AD=BDx0d∴∠BAD=∠BDAx0d ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）x0d又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）x0d ∴∠BAD+∠C’AD=90°x0d 即：∠BAC’=90°x0d又∵∠BAC=90°x0d ∴∠BAC=∠BAC’x0d ∴C与C’重合x0d（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合x0d 由于CA⊥AB,C’A⊥ABx0d 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直x0d 这就与垂直公理矛盾x0d ∴假设不成立x0d ∴C与C’重合）x0d∴DC=AD=BDx0d∴AD是BC上的中线且AD=BC/2x0d这就是直角三角形斜边上的中线定理x0d 证法2：如图
x0dΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DEx0d∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位线x0d∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）x0d∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行,同位角相等）x0d∴DE⊥AB x0d∴n是AB的垂直平分线x0d∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）x0d∴AD=CB/2