解题思路：（1）由题意可知[sinθ•x−1
sinθ•
x
2
≥0．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）由题设条件知
(f(x)−g(x)
)
′
＝
m
x
2
−2x+m
x
2
．mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知
m≥
2x
1+
x
2
，由此可知m的取值范围．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），
F(x)＝mx−
m/x
−2lnx−
2e
x]．由此入手可以得到m的取值范围是
(
4e
e
2
−1
，+∞)
．
（1）由题意，g′(x)＝−
1
sinθ•x2+
1
x≥0在[1，+∞）上恒成立，即[sinθ•x−1
sinθ•x2≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ＝
π/2]．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx−
m
x−2lnx．
∴(f(x)−g(x))′＝
mx2−2x+m
x2．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥
2x
1+x2，
而[2x
x2+1＝
2
x+
1/x]，（[2
x+
1/x]）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即m≤
2x
1+x2
在[1，+∞）恒成立，而[2x
x2+1∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)＝mx−
m/x−2lnx−
2e
x]．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx−
m
x≤0，−2lnx−
2e
x＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立．
当m＞0时，(F(x))′＝m+
m
x2−
2
x+
2e
x2＝
mx2−2x+m+2e
x2．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max＝F(e)＝me−
m
e−4，只要me−
m
e−4＞0，
解得m＞
4e
e2−1．
故m的取值范围是(
4e
e2−1，+∞)．
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．
1年前
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