如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明
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1个回答

  • 解题思路:由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值,由OM⊥AB可用斜率处理,得到M的坐标和A、B坐标的联系,再注意到M在AB上,由以上关系即可得到M点的轨迹方程;此题还可以考虑设出直线AB的方程解决.

    如图,点A,B在抛物线y2=4px上,

    设A(

    y2A

    4p,yA),B(

    y2B

    4p,yB),OA、OB的斜率分别为kOA、kOB

    ∴kOA=

    yA

    y2A

    4p=

    4p

    yA,kOB=

    4p

    yB

    由OA⊥AB,得kOA•kOB=

    16p2

    yAyB=−1①

    依点A在AB上,得直线AB方程

    (yA+yB)(y−yA)=4p(x−

    y2A

    4p)②

    由OM⊥AB,得直线OM方程y=

    yA+yB

    −4px③

    设点M(x,y),则x,y满足②、③两式,将②式两边同时乘以−

    x

    4p,

    并利用③式整理得

    x

    4py2A+yyA−(x2+y2)=0④

    由③、④两式得

    x

    4pyAyB−(x2+y2)=0

    由①式知,yAyB=-16p2

    ∴x2+y2-4px=0

    因为A、B是原点以外的两点,所以x>0

    所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.

    点评:

    本题考点: 轨迹方程;抛物线的应用.

    考点点评: 本小题主要考查直线、抛物线的基础知识,考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能.