解题思路:由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值,由OM⊥AB可用斜率处理,得到M的坐标和A、B坐标的联系,再注意到M在AB上,由以上关系即可得到M点的轨迹方程;此题还可以考虑设出直线AB的方程解决.
如图,点A,B在抛物线y2=4px上,
设A(
y2A
4p,yA),B(
y2B
4p,yB),OA、OB的斜率分别为kOA、kOB.
∴kOA=
yA
y2A
4p=
4p
yA,kOB=
4p
yB
由OA⊥AB,得kOA•kOB=
16p2
yAyB=−1①
依点A在AB上,得直线AB方程
(yA+yB)(y−yA)=4p(x−
y2A
4p)②
由OM⊥AB,得直线OM方程y=
yA+yB
−4px③
设点M(x,y),则x,y满足②、③两式,将②式两边同时乘以−
x
4p,
并利用③式整理得
x
4py2A+yyA−(x2+y2)=0④
由③、④两式得
−
x
4pyAyB−(x2+y2)=0
由①式知,yAyB=-16p2
∴x2+y2-4px=0
因为A、B是原点以外的两点,所以x>0
所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
点评:
本题考点: 轨迹方程;抛物线的应用.
考点点评: 本小题主要考查直线、抛物线的基础知识,考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能.