Question

设limx→0f（x）／x=1,且f‘’（x）＞0,证明：f（x）＞x.

Answer 1

由lim[f(x)/x] =1 知 x->0时 f(x)必趋近于0,补充定义:f(0) =0

则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1

构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0

所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x

当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x

因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~