如图，设椭圆C：（a＞b>0）的左、右焦点分别为 - 知识问答

如图，设椭圆C：（a＞b>0）的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上顶点为A，过点A与AF 2 垂直的直线交x

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（1）因为
所以F₁为F₂Q中点
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF₂，
所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求椭圆方程为
。
（2）设l₁的方程为y=kx+2（k>0）
由
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则
所以
（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））
由于菱形对角线互相垂直，因此
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0
因为k>0，
所以x₂-x₁≠0
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0
所以
解得
即
因为k>0，
所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是
。
（3）①当直线l₁斜率存在时，
设直线l₁方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
由△>0，得
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则
又
，
所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）
所以x₁=λx₂所以
所以
所以
整理得
因为，
所以
，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4
＜λ＜1。
②当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，
此时
，
，

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