解题思路:(I)把函数f(x)=2x+1代入不等式
|f(x)|+|f(
x
2
)−3|>4
,根据绝对值不等式的代数意义去绝对值符号,转化为解一元一次不等式;把求得的结果求并集;(II)把函数f(x)=2x+1代入
|f(
x
2
)−f(
y
2
)|
2|x|
,根据绝对值的运算性质放缩不等式,即可证得结论.
(I)原不等式可化为|2x+1|+|x-2|>4
当x≤-
1
2时,不等式化为-2x-1+2-x>4,
∴x<-1,此时x<-1;
当-
1
2<x<2时,不等式化为2x+1+2-x>4,
∴x>1,此时1<x<2;
当x≥2时,不等式化为2x+1+x-2>4,
∴x>
5
3,此时x≥2.
综上可得:原不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(II)
|f(x2−y2)|
2|x|=
|x2−y2|
|x|=
||x|2−|y|2|
|x|=
||x|+|y||
|x|•||x|-|y||=|1+
|y|
|x||•||x|-|y||,
∵|1+
|y|
|x||≥1,当y=0时取等号,
∴|1+
|y|
|x||•||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此
|f(x2−y2)|
2|x|≥|x|-|y|.
点评:
本题考点: 绝对值不等式的解法.
考点点评: 考查绝对值的代数意义,去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法,应用绝对值运算性质放缩不等式,防守方的应用,属中档题.