(2009•丹东二模)已知函数f(x)=2x+1.

1个回答

  • 解题思路:(I)把函数f(x)=2x+1代入不等式

    |f(x)|+|f(

    x

    2

    )−3|>4

    ,根据绝对值不等式的代数意义去绝对值符号,转化为解一元一次不等式;把求得的结果求并集;(II)把函数f(x)=2x+1代入

    |f(

    x

    2

    )−f(

    y

    2

    )|

    2|x|

    ,根据绝对值的运算性质放缩不等式,即可证得结论.

    (I)原不等式可化为|2x+1|+|x-2|>4

    当x≤-

    1

    2时,不等式化为-2x-1+2-x>4,

    ∴x<-1,此时x<-1;

    当-

    1

    2<x<2时,不等式化为2x+1+2-x>4,

    ∴x>1,此时1<x<2;

    当x≥2时,不等式化为2x+1+x-2>4,

    ∴x>

    5

    3,此时x≥2.

    综上可得:原不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

    (II)

    |f(x2−y2)|

    2|x|=

    |x2−y2|

    |x|=

    ||x|2−|y|2|

    |x|=

    ||x|+|y||

    |x|•||x|-|y||=|1+

    |y|

    |x||•||x|-|y||,

    ∵|1+

    |y|

    |x||≥1,当y=0时取等号,

    ∴|1+

    |y|

    |x||•||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|

    因此

    |f(x2−y2)|

    2|x|≥|x|-|y|.

    点评:

    本题考点: 绝对值不等式的解法.

    考点点评: 考查绝对值的代数意义,去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法,应用绝对值运算性质放缩不等式,防守方的应用,属中档题.