填 running,原因有二：
首先 have sb do sth 是一个固定搭配来的,就是让某人做某事,
I had my sister buy some friut for me.
我让我姐姐帮我买了一些水果.
have sb doing sth是让某人一直做某事,是一个持续的动作.
其次,all the way （省略了to somewhere）是持续性的时间状语,可能是说话的人要骑马到一个很远的地方,所以前面搭配的动词要用动词要表达出持续的状态,所以应该填 running 来表示这个意思.
整个句子的意思就是：
天气太热了,你不能让马一路上跑.