Question

（2006•咸宁）如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥

Answer 1

解题思路：（1）连接OD，通过证明OD∥AC，利用平行的性质，得出OD⊥DE，即可判定DE与⊙O相切；

（2）连接OD，OF．设AF=x，利用方程的思想和勾股定理，解出x=4，即AF的长度为4．

（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接OD．

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB．

又∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切．

（2）解法（1）：连接OD，OF．

∵DE，AF是⊙O的切线，

∴OF⊥AC，OD⊥DE．

又∵DE⊥AC，

∴四边形ODEF为矩形．

∴OD=EF．

设AF=x，则

AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2．

∵AF与⊙O相切，

∴AF²=AG•AB．

即x²=（x-2）（x+4），

解得x=4．∴AF的长度为4．

解法（2）：连接OD，OF．

∵DE，AF是⊙O的切线，

∴OF⊥AC，OD⊥DE．

又∵DE⊥AC，所以四边形ODEF为矩形，

∴OD=EF．

设AF=x，则AB=AC=x+3+1=x+4，

AO=AB-OB=x+4-3=x+1，

∵OF⊥AC，∴AO²=OF²+AF²

即（x+1）²=9+x²，

解得x=4．

故AF的长度为4．

点评：

本题考点： 切线的判定与性质．

考点点评： 主要考查了圆的切线的判定方法、和构造直角三角形利用勾股定理作为相等关系解方程的思想．