解题思路:(Ⅰ)先根据题意得到函数S(t)的解析式,再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S(t)的单调区间;
(Ⅱ)当a>2时,若∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,转化为S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e.先求
S′(t)=−
1
2
[t−(a−1)]
e
t
,令S'(t)=0,得t=a-1.下面对字母a进行分类讨论:a-1≥2;a-1<2.可得出关于a的不等关系,从而可求出a的范围;
(I) 因为S(t)=
1
2|t−a|et,其中t≠a…(2分)
当a=0,S(t)=
1
2|t|et,其中t≠0
当t>0时,S(t)=
1
2tet,S′(t)=
1
2(t+1)et,
所以S'(t)>0,所以S(t)在(0,+∞)上递增,…(4分)
当t<0时,S(t)=−
1
2tet,S′(t)=−
1
2(t+1)et,
令S′(t)=−
1
2(t+1)et>0,解得t<-1,所以S(t)在(-∞,-1)上递增
令S′(t)=−
1
2(t+1)et<0,解得t>-1,所以S(t)在(-1,0)上递减 …(7分)
综上,S(t)的单调递增区间为(0,+∞),(-∞,-1),S(t)的单调递增区间为(-1,0)
(II)因为S(t)=
1
2|t−a|et,其中t≠a
当a>2,t∈[0,2]时,S(t)=
1
2(a−t)et
因为∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e,
S′(t)=−
1
2[t−(a−1)]et,令S'(t)=0,得t=a-1…(8分)
当a-1≥2时,即a≥3时S′(t)=−
1
2[t−(a−1)]et>0对t∈(0,2)成立,S(t)单调递增,
所以当t=2时,S(t)取得最大值S(2)=
1
2(a−2)e2
令
1
2(a−2)e2≥e,解得a≥
2
e+2,
所以a≥3…(10分)
当a-1<2时,即a<3时S′(t)=−
1
2[t−(a−1)]et>0对t∈(0,a-1)成立,S(t)单调递增,S′(t)=−
1
2[t−(a−1)]et<0对t∈(a-1,2)成立,S(t)单调递减,
所以当t=a-1时,S(t)取得最大值S(a−1)=
1
2ea−1,
令S(a−1)=
1
2ea−1≥e,解得a≥ln2+2,
所以ln2+2≤a<3…(12分)
综上所述,ln2+2≤a…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查了应用导数研究函数的单调性,以及函数在闭区间上的最值问题,同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想.