（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知 f′(x)＝
1−lnx
x2
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，f′(x)＝
1−lnx
x2＞0，
当x＞e时，f′(x)＝
1−lnx
x2＜0
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即 0＜m≤
e
2时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f(x)max＝f(2m)＝
ln(2m)
2m−1，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f(x)max＝f(m)＝
lnm
m−1，
③当m＜e＜2m，即 [e/2＜m＜e时
∴f(x)max＝f(e)＝
1
e−1．
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f(x)max＝f(e)＝
1
e−1，
∴在（0，+∞）上恒有 f(x)＝
lnx
x−1≤
1
e−1，
即
lnx
x≤
1
e]且当x=e时“=”成立，
∴对∀x∈（0，+∞）恒有 lnx≤
1
ex，
∵[1+n/n＞0，
1+n
n≠e，
∴ln
1+n
n＜
1
e•
1+n
n⇒ln(
1+n
n)e＜
1+n
n]
即对∀n∈N*，不等式 ln(
1+n
n)e＜
1+n
n恒成立．