已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

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  • 解题思路:①求导,并判断导数的符号,分别讨论a的取值,确定函数的单调区间.

    ②构造函数g(x)=f([1/a]+x)-f([1/a]-x),利用导数求函数g(x)当0<x<[1/a]时的最小值大于零即可.

    ①函数f(x)的定义域为(0,+∞),

    ∵f(x)=lnx-ax2+(2-a)x,

    ∴f'(x)=[1/x−2ax+2−a=

    −2ax2+(2−a)x+1

    x]=−

    (2x+1)(ax−1)

    x.

    (1)若a>0,则由f′(x)=0,得x=[1/a],

    当x∈(0,[1/a])时,f′(x)>0,此时函数单调递增.

    当x∈([1/a],+∞)时,f′(x)<0,此时函数单调递减.

    (2)当a≤0时,f'(x)>0恒 成立,

    因此f(x)在(0,+∞)单调递增.

    ②设函数g(x)=f([1/a]+x)-f([1/a]-x),则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,

    g′(x)=[a/1+ax+

    a

    1−ax−2a=

    2a3x2

    1−a2x2],

    当x∈(0,[1/a])时,g′(x)>0,而g(0)=0,

    ∴g(x)>0,

    故当0<x<[1/a]时,f([1/a]+x)>f([1/a]-x).

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题,体现了分类讨论和转化的思想方法.