解题思路:①求导,并判断导数的符号,分别讨论a的取值,确定函数的单调区间.
②构造函数g(x)=f([1/a]+x)-f([1/a]-x),利用导数求函数g(x)当0<x<[1/a]时的最小值大于零即可.
①函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=lnx-ax2+(2-a)x,
∴f'(x)=[1/x−2ax+2−a=
−2ax2+(2−a)x+1
x]=−
(2x+1)(ax−1)
x.
(1)若a>0,则由f′(x)=0,得x=[1/a],
当x∈(0,[1/a])时,f′(x)>0,此时函数单调递增.
当x∈([1/a],+∞)时,f′(x)<0,此时函数单调递减.
(2)当a≤0时,f'(x)>0恒 成立,
因此f(x)在(0,+∞)单调递增.
②设函数g(x)=f([1/a]+x)-f([1/a]-x),则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)=[a/1+ax+
a
1−ax−2a=
2a3x2
1−a2x2],
当x∈(0,[1/a])时,g′(x)>0,而g(0)=0,
∴g(x)>0,
故当0<x<[1/a]时,f([1/a]+x)>f([1/a]-x).
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题,体现了分类讨论和转化的思想方法.