Question

求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

Answer 1

解题思路：设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，得出方程组，转化成方程后求出△的值，即可得出答案．

设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，

则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，

矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，

则

x+y=k(a+b)

xy=kab

∴x，y是方程t²-k（a+b）t+kab=0的两实根．

当△=[k（a+b）]²-4kab≥0，即k≥

4ab

(a+b)2时，方程有解．

所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当k≥

4ab

(a+b)2时，存在周长与面积都是已知矩形的k倍的矩形．

∵（a-b）²≥0，

∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，

即（a+b）²≥4ab，

4ab

(a+b)2≤1，

∴

4ab

(a+b)2的最大值为1．

∴当k≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形，

即对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

点评：

本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程无实数根，题目比较好，难度偏大．