Question

一软绳在桌面上下滑,其质量为m,长为L,其中一半在桌面上,另一半悬挂在桌子的边缘上.

Answer 1

(1)设绳子比初始位置下降l时,速度为v,加速度为a,绳子线密度λ=m/L

根据动能定理 λlg(l/2+L/2)=1/2mv^2

解得 v=(g*(l^2/L+l))^(1/2)

a=dv/dt=(dv/dl)*(dl/dt)=(dv/dl)*v=g^(1/2)*(2l/L+1)*(g*(l^2/L+l))^(1/2)/(2*(l^2/L+l)^(1/2))=g*(l/L+1/2)

当绳子下滑至3L/4时 l=3L/4-L/2=L/4

代入得 v=(5gL/16)^(1/2) a=3g/4

(2)以桌子边缘为原点,竖直向下建立x轴,设张力函数为T(x)

dT(x)+λgdx=λadx

整理得 dT(x)=λ(a-g)dx,即 dT(x)=-mgdx/4L

两边同时积分 T(x)-T(0)=-mgx/4L

T(0)=ma/4=3mg/16

所以 T(x)=3mg/16-mgx/4L