Question

试用三角函数定义证明,当a为锐角时,1≤sina≤√2

Answer 1

a为锐角时,不妨设A=a

由三角函数定义

sinA＋cosA=a/c+b/c=（a+b)/c

因为三角形两边之和大于第三边 a+b>c

所以（a+b)/c>1

sinA＋cosA>1

(sinA＋cosA)^2=(sinA)^2＋(cosA)^2+2sinAcosA

=1+2ab/(c^2)

=1+2ab/(a^2+b^2)

a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>=0即a^2+b^2>=2ab

而a>0,b>0

所以2ab/(a^2+b^2)≤1

(sinA＋cosA)^2≤1+1=2

故sinA＋cosA≤√2

由上便有

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