已知函数 f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1.若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x

1个回答

  • 解题思路:函数

    f(x)=

    4

    x

    +k•

    2

    x

    +1

    4

    x

    +

    2

    x

    +1

    的解析式可化为f(x)=

    2

    x

    +k+

    1

    2

    x

    2

    x

    +1+

    1

    2

    x

    ,令t=

    2

    x

    +1+

    1

    2

    x

    ,(t≥3),则f(x)=y=1+[k−1/t],结合反比例函数的单调性,分类讨论函数的单调性,并分析出函数的值域,构造关于k的不等式,求出各种情况下实数k的取值范围,最后综合讨论结果,可得实数k的取值范围.

    ∵函数 f(x)=

    4x+k•2x+1

    4x+2x+1=

    2x+k+

    1

    2x

    2x+1+

    1

    2x

    令t=2x+1+

    1

    2x,(t≥3)

    则f(x)=y=1+[k−1/t]

    若k-1<0,即k<1,函数y=1+[k−1/t]在[3,+∞)上为增函数

    此时的函数f(x)=y值域为[1+[k−1/3],1)

    若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立

    则2(1+[k−1/3])≥1,就可以满足条件

    解得−

    1

    2≤k<1

    若k-1=0,即k=1,

    f(x)=1,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)显然成立

    若k-1>0,即k>1

    函数y=1+[k−1/t]在[3,+∞)上为减函数

    此时的函数f(x)=y值域为(1,1+[k−1/3]]

    若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立

    则1+1≥1+[k−1/3],

    解得1<k≤4

    综上所述:−

    1

    2≤k≤4

    故答案为:−

    1

    2≤k≤4

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,指数函数的性质,反比例函数的图象和性质,其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f(x)=y=1+[k−1/t],是解答的关键.