解题思路:函数
f(x)=
4
x
+k•
2
x
+1
4
x
+
2
x
+1
的解析式可化为f(x)=
2
x
+k+
1
2
x
2
x
+1+
1
2
x
,令t=
2
x
+1+
1
2
x
,(t≥3),则f(x)=y=1+[k−1/t],结合反比例函数的单调性,分类讨论函数的单调性,并分析出函数的值域,构造关于k的不等式,求出各种情况下实数k的取值范围,最后综合讨论结果,可得实数k的取值范围.
∵函数 f(x)=
4x+k•2x+1
4x+2x+1=
2x+k+
1
2x
2x+1+
1
2x
令t=2x+1+
1
2x,(t≥3)
则f(x)=y=1+[k−1/t]
若k-1<0,即k<1,函数y=1+[k−1/t]在[3,+∞)上为增函数
此时的函数f(x)=y值域为[1+[k−1/3],1)
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则2(1+[k−1/3])≥1,就可以满足条件
解得−
1
2≤k<1
若k-1=0,即k=1,
f(x)=1,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)显然成立
若k-1>0,即k>1
函数y=1+[k−1/t]在[3,+∞)上为减函数
此时的函数f(x)=y值域为(1,1+[k−1/3]]
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则1+1≥1+[k−1/3],
解得1<k≤4
综上所述:−
1
2≤k≤4
故答案为:−
1
2≤k≤4
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,指数函数的性质,反比例函数的图象和性质,其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f(x)=y=1+[k−1/t],是解答的关键.