Question

已知A、B、C是锐角,且tan(A/2)={tan(C/2)}^3和tanC=2tanB.求证A、B、C成等差数列!

Answer 1

以下y=tan(C/2),少打些字. tan(C)=2tan(B),所以 tan(B)=y/(1-y^2) 而tan((A+C)/2)=[tan(A/2)+tan(C/2)]/[1-tan(A/2)tan(C/2)]=(y^3+y)/(1-y^4)=y(1+y^2)/(1-y^4)=y/(1-y^2) 所以tan((A+C)/2)=tan(B) 因为A,B,C 是锐角,所以 B, (A+C)/2 是锐角,所以由 tan((A+C)/2)=tan(B) 得知 B=(A+C)/2,即 A,B,C成等差数列.