Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（3x）=cf（x）（c为正常数）；②当3≤x≤9时，f（x）=1-|x-6

Answer 1

解题思路：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

当3^n-1≤x≤3ⁿ（n∈N^*）时，[x

3n−2∈[3，9]

∵函数f（x）满足：①f（3x）=cf（x）（c为正常数）；②当3≤x≤9时，f（x）=1-|x-6|，

∴n≥2时，f（x）=c^n-1×f（

x

3n−2）=c^n-1×[1-|

x

3n−2-6|]

由函数解析式知，当

x

3n−2-6=0时，函数取得极大值c^n-1，

∴极大值点坐标为（6×3^n-2，c^n-1）

∴n≥3时，根据直线斜率相等即

cn+1−cn

6×3n−6×3n−1=

cn−cn−1

6×3n−1−6×3n−2，化简可得c-1=

c(c−1)/3]

解得c=1或3

故答案为：1或3．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出函数的极值点坐标，是解答本题的关键．