Question

设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1，2，…2n-1}中至少有一个i

Answer 1

解题思路：（I）根据x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性质P定义，可得n=2时，只要1，3或2，4相邻即可；

（II）当n=3时，1，2，3，4，5，6的全排列数为

A

6

6

； 1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为

C

1

3

A

2

2

A

5

5

；至少有两对相邻

C

2

3

A

2

2

A

2

2

A

4

4

；三对全相邻

A

3

3

A

2

2

A

2

2

A

2

2

，相减可得答案．

（III）记A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性质P}，B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性质P}，C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一个i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}，分析A中元素与B中元素个数的关系，可得答案．

（I）当n=2时，具有性质P的排列有：

（2，1，3，4）；（2，3，1，4）；（4，1，3，2），（4，3，1，2）

（II）当n=3时，1，2，3，4，5，6的全排列数为

A66； 1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为

C13

A22

A55；至少有两对相邻

C23

A22

A22A44；三对全相邻

A33

A22

A22A22

所以，n=3时不具有性质P的排列的个数共有：

A66-

C13

A22

A55-

C23

A22

A22A44-

A33

A22

A22A22=240；

证明：（III）记A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性质P}

B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性质P}

C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一个i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}

显然C是A的子集，而且（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∈A，（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∉C，

所以C是A的真子集，所以A中元素个数大于C中元素个数；

考虑B中任一元素（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），则|y₂-y₁|≠n，因此与y₁相差n的数一定是某个y_k，（k＞2）

把y₁放到y_k的左边得到一个新排列（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），这个排列一定是C的元素，

作映射（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），→（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），

不难证明这是一一对应，所以C中元素个数等于B中元素个数

综上A中元素个数大于B中元素个数

即对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多

点评：

本题考点： 排列、组合的实际应用．

考点点评： 本题考查的知识点是排列，组合，正确理解新定义x1，x2，x3，…，x2n具有性质P的含义，是解答的关键．