Question

等差数列an,d不为0,Sn/S2n是与n无关的常数,此an存在吗?若存在求这个常数、a1与d的关系,不存在说明理由

Answer 1

对于等差数列 前n项和 有公式：

Sn=na1+n(n-1)d/2 . ①

S2n=na1+2n(2n-1)d/2 . ②

于是：

Sn/S2n=[na1+n(n-1)d]/[2na1+2n(2n-1)d] . ③

将其展开：

Sn/S2n=[a1+(n-1)d]/[2a1+(4n-2)d].将n约去

=1-(3n-1)d/[2a1+(4n-2)d] . ④

于是只要 后边的分式是一个常数即可

并设这个常数为 k （k≠0,因为如果k=0必然有d=0）此时

Sn/S2n=1-k . ⑤

则：

(3n-1)d=k[2a1+(4n-2)d] . ⑥

移项 整理得：

a1=[(3n-1)/2k-2n+1]d . ⑦

a1与d都是常数 两者之间比例关系必然与 n无关

因此 有

3n/2k-2n=0 （使⑦式中与 n 有关的项为零）

即得：

k=3/4

代入 ⑤⑦式得：

a1=d/3

Sn/S2n=1-k=1/4