PE=x
PF=y
EF=z
PE*EB=2zz
PF*FC=2zz
EB=2zz/x
FC=2zz/y
为了方便我们假设z＝1,否则把整个图按照比例放大或缩小即可.
PE=x
PF=y
EF=1
PE*EB=2
PF*FC=2
EB=2/x
FC=2/y
余弦定理
AB^2=1+(2/x)(2/x)-2(2/x)cos角AEB
yy=1+xx-2xcos角PEF=1+xx-2xcos角AEB
AB^2=1+(2/x)(2/x)+(2/xx)[yy-1-xx]
=1+4/xx-2/xx+2yy/xx-2
=2/xx+2yy/xx-1
同理
CD^2
=2/yy+2xx/yy-1
1=xx+yy-2xy*cos角EPF
PB=PE+EB=x+2/x
PC=y+2/y
BC^2=(x+2/x)(x+2/x)+(y+2/y)(y+2/y)-2(y+2/y)(x+2/x)*cos角BPC
角BPC=角EPF
所以
BC^2=(x+2/x)(x+2/x)+(y+2/y)(y+2/y)+(1+2/yy)(1+2/xx)(1-xx-yy)
AB·CD=EF·BC
要证
AB·CD AB·CD=EF·BC EF·BC 就行
AB^2=2/xx+2yy/xx-1
CD^2=2/yy+2xx/yy-1
BC^2=(x+2/x)(x+2/x)+(y+2/y)(y+2/y)+(1+2/yy)(1+2/xx)(1-xx-yy)
EF^2=1
AB^2*CD^2=BC^2*EF^2
所以
AB*CD=BC*EF