Question

数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）利用递推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比数列的定义可求c

（2）由递推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解

（3）假设存在a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，结合（2）中的通项公式进行推理．

（1）由S_n=2a_n-3_n及S_n+1=2a_n+1-3（n+1）得a_n+1=2a_n+3

∴

an+1+3

an+3＝2，∴c=3

（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）•2^n-1∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）

（3）设存在S，P，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列∴2a_p=a_s+a_r

即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）∴2^p+1=2^s+2^r

∴2^p-s+1=1+2^r-s∵s，p，r∈N^*且s＜p＜r

∴2^p-s+1、2^r-s为偶数

1+2^r-s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列的递推关系an=sn-sn-1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．