方程x=sqrt(x+1)+sqrt(x+2)+sqrt(x+3)+sqrt(x+4)的解是代数数吗?其中,sqrt是开

4个回答

  • 方程可去掉根号,化为多项式方程,因此X是代数数:

    令x+2=t^2 ,x=t^2-2

    t^2-2=√(t^2-1)+t+√(t^2+1)+√(t^2+2)

    t^2-t-2-√(t^2+2)=√(t^2-1)+√(t^2+1),两边平方得:

    a^2-2a√(t^2+2)+(t^2+2)=2t^2+2√(t^4-1),a=t^2-t-2

    b=a√(t^2+2)+√(t^4-1),b=(a^2+2-t^2)/2

    两边再平方得:

    b^2=a^2(t^2+2)+(t^4-1)+2a√(t^2+2)(t^4-1)

    c=2a√(t^2+2)(t^4-1),c=b^2-a^2(t^2+2)-(t^4-1)

    两边再平方即最终去掉平方根号了:

    c^2=4a^2(t^2+2)(t^4-1),