Question

（2011•海淀区二模）对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为

Answer 1

解题思路：（I）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列A₁，A₀；

（II）数列A₀中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”A₀，A₀中每一个1在A₂中对应连续四项1，0，0，1，在A₀中每一个0在A₂中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”A₀中的每一个项在A₂中都会对应一个连续相等的数对；

（III）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，讨论k的奇偶可求出所求．

（Ⅰ）由变换T的定义可得A₁：0，1，1，0，0，1…（2分）A₀：1，0，1…（4分）

（Ⅱ） 数列A₀中连续两项相等的数对至少有10对 …（5分）

证明：对于任意一个“0-1数列”A₀，A₀中每一个1在A₂中对应连续四项1，0，0，1，在A₀中每一个0在A₂中对应的连续四项为0，1，1，0，

因此，共有10项的“0-1数列”A₀中的每一个项在A₂中都会对应一个连续相等的数对，

所以A₂中至少有10对连续相等的数对．…（8分）

（Ⅲ） 设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，

由变换T的定义及A₀：0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有2^k+1个，

所以b_k+1=l_k+2^k，

所以l_k+2=l_k+2^k，

由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1

所以l₁=1，l₂=1，

当k≥3时，

若k为偶数，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．

上述各式相加可得lk＝1+22+24+…+2k−2＝

1(1−4

k

2)

1−4＝

1

3(2k−1)，

经检验，k=2时，也满足lk＝

1

3(2k−1)．

若k为奇数，l_k=l_k-2+2^k-2l_k-2=l_k-4+2^k-4…l₃=l₁+2．

上述各式相加可得lk＝1+2+23+…+2k−2＝1+

2(1−4

k−1

2)

1−4＝

1

3(2k+1)，

经检验，k=1时，也满足lk＝

1

3(2k+1)．

所以lk＝

1

3(2k+1)，k为奇数

1

3(2k−1)，k为偶数．…（13分）

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题主要考查了数列的概念及简单表示法，以及数列的求和，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．