解题思路:(1)作差(x3+y3)-(x2y+xy2)后化积,利用综合法对乘积的符号进行判断,即可证得结论成立;
(2)从已知a3-b3=a2-b2出发,利用a>0,b>0,a≠b,结合基本不等式可求得3(a+b)2-4(a+b)<0,从而可求a+b的取值范围.
(1)证明:∵(x3+y3)-(x2y+xy2)
=x2(x-y)+y2(y-x)
=(x-y)(x2-y2)
=(x-y)2(x+y)
又x、y都是正实数,
∴(x-y)2≥0、x+y>0,即(x3+y3)-(x2y+xy2)≥0
∴x3+y3≥x2y+xy2;
(2)∵a3-b3=a2-b2,
∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),
又a≠b,故a-b≠0,
∴a2+ab+b2=a+b,
即(a+b)2-ab=a+b,又a>0,b>0,a≠b,
∴ab=(a+b)2-(a+b)<(
a+b
2)2,
∴3(a+b)2-4(a+b)<0,
∴0<a+b<[4/3].
点评:
本题考点: 综合法与分析法(选修);不等式的证明.
考点点评: 本题考查综合法证明不等式,考查等价转化思想与基本不等式的应用,考查推理与证明能力,属于难题.