Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cos[nπ/2]|）an+|sin[nπ/2]|，n∈N

Answer 1

解题思路：（1）设n=2k（k∈N^*），根据a_n+2=（1+2|cos[nπ/2]|）a_n+|sin[nπ/2]|，结合三角函数的定义，易得a_2n+2=a_2（n+1）=3•a_2n，进而根据等比数列的定义，可得结论；

（2）设n=2k-1（k∈N^**），根据a_n+2=（1+2|cos[nπ/2]|）a_n+|sin[nπ/2]|，结合三角函数的定义，易得a_2n+1=a_2n-1+1，故数列{a_n}所有的奇数项构成一个等差数列，综合（1）中结论，可得答案．

（3）若b_k+1＞b_k，则b_k+1-b_k＞0，由已知求出b_k+1-b_k的表达式，结合（1）（2）中的结论，分类讨论，可得答案．

（1）设n=2k（k∈N^*）

∵a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，又a₂=3，

∴当n∈N^*时，数列{a_2n}为首项为3，公比为3的等比数列；…4'

（2）设n=2k-1（k∈N^*）

由a_2k+1=（1+2|cos（k-[1/2]）π|）a_2k-1+|sin（k-[1/2]）π|=a_2k-1+1

∴当k∈N^*时，{a_2k-1}是等差数列

∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k…6'

又由（1）当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列

∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k…6'

综上，数列{a_n}的通项公式为an＝

n+1

2(n为奇数)

3

n

2(n为偶数)…8'

（3）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k−1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k，

∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k

由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立

∴b_k+1-b_k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k＞0恒成立

即2•3^k＞（-1）^k-1λ•3•2^k对任意k∈N^*恒成立…11'

①当k为奇数时，

2•3^k＞λ•3•2^k⇒λ＜[2•3k/3•2k＝

2

3•(

3

2)k对任意k∈N^*恒成立

∵k∈N^*，且k为奇数，

∴

2

3•(

3

2)k≥

2

3•

3

2]=1

∴λ＜1…13'

②当k为偶数时，

2•3^k＞-λ•3•2^k⇒λ＞-[2•3k/3•2k＝−

2

3•(

3

2)k对任意k∈N^*恒成立

∵k∈N^*，且k为偶数，

∴-

2

3•(

3

2)k≤-

2

3•(

3

2)2＝−

3

2]，

∴λ＞-[3/2]…15'

综上：有-[3/2]＜λ＜1…12'

∵λ为非零整数，∴λ=-1．…16'

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查的知识点是数列与不等式的综合，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，等比关系的确定，等差关系的确定，是数列问题与不等式问题的综合应用，难度较大．