如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且AF平分∠DAE.

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  • 解题思路:(1)延长CB到G,使BG=DF,连接AG,易证△ADF≌△ABG,得∠5=∠G,∠1=∠3,进而证明∠FAB=∠EAG,进而证明AE=EB+BG=EB+DF;

    (2)由(1)可知AE=EG=5,AF=AG=6,作EH⊥AG垂足为H,利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得EH,进一步利用三角形AEG的面积求得AB解决问题.

    (1)证明:延长CB到G,使BG=DF,连接AG(如图)

    ∵AD=AB,∠D=∠ABG=90°,

    ∴△ADF≌△ABG(SAS),

    ∴∠5=∠G,∠1=∠3,DF=BG,

    ∵∠1=∠2,

    ∴∠2=∠3,

    ∴∠2+∠4=∠3+∠4,

    即∠FAB=∠EAG,

    ∵CD∥AB,

    ∴∠5=∠FAB=∠EAG,

    ∴∠EAG=∠G,

    ∴AE=EB+BG=EB+DF.

    (2)如图,

    作EH⊥AG垂足为H,

    ∵AE=EG=5,AF=AG=6,

    ∴EH=

    52−32=4

    S△AEG=[1/2]×AG×EH=[1/2]×EG×AB

    即6×4=5×AB,

    ∴AB=4.8,

    ∴正方形ABCD的周长=4.8×4=19.2.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了正方形角的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的面积以及勾股定理等知识点.