Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．

Answer 1

解题思路：（I）连接A₁C交AC₁于点O，连接EO，由已知得EO∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面AEC₁．

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点A₁到平面AEC₁的距离．

（I）证明：连接A₁C交AC₁于点O，连接EO，

因为ACC₁A₁为正方形，所以O为A₁C中点，

又E为CB中点，所以EO为△A₁BC的中位线，

所以EO∥A₁B，

又EO⊂平面AEC₁，A₁B不包含于平面AEC₁，

所以A₁B∥平面AEC₁．

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，

建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），A₁（0，0，2），E（1，1，0），C₁（0，2，2），

AA1=（0，0，2），

AE=（1，1，0），

AC1=（0，2，2），

设平面AEC₁的法向量为

n=（x，y，z），

则

n•

AE＝x+y＝0

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．