Question

已知x，y≠kπ+[π/2]（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．

Answer 1

证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，

∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，

①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．

∴4×[1−cos2x/2]-2×[1−cos2y/2]=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．

故证得cos2x=[1/2]cos2y；

（2）要证

2(1−tan2x)

1+tan2x=

1−tan2y

1+tan2y，只需证

1−

sin2x

cos2x

1+

sin2x

cos2x=

1−

sin2y

cos2y

2(1+

sin2y

cos2y)，

即证

cos2x−sin2x

cos2x+sin2x=

cos2y−sin2y

2(cos2y+sin2y)，即证cos²x-sin²x=[1/2]（cos²y-sin²y），只需证cos2x=[1/2]cos2y．

由（1）的结论，cos2x=[1/2]cos2y显然成立．

所以

2(1−tan2x)

1+tan2x=

1−tan2y

1+tan2y．