解题思路：根据已知托运暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶，则可以求出一共有500×6=3000个暖瓶，再由每10个暖瓶的运费为5.5元，可得每个暖瓶的运费是5.5÷10=0.55元；根据每损坏一个，不但不付运费还要赔偿11.5元的条件可知，则损坏一个暖瓶的要扣11.5+0.55=12.05元，假设一个暖瓶也没有损坏，则应该得运费3000×0.55=1650元，这比已知的1553.6元多了1650-1553.6=96.4元，所以96.4元里面有几个12.05元，就有几个损坏的．
一共有暖瓶500×6=3000（个），
每个暖瓶的运费是：5.5÷10=0.55（元），
（3000×0.55-1553.6）÷（11.5+0.55），
=96.4÷12.05，
=8（个），
答：共损坏了8个暖瓶．
故答案为：8．
点评：
本题考点： 鸡兔同笼．
考点点评： 此题是典型的鸡兔同笼的问题，一般用假设法，比较简便，解答此题的关键是求出暖瓶的总个数和每个暖瓶的运费．