Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD ∥ BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD的中点，点F是AB

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，

∴∠A=90°，

∵∠ADF=45°，

∴∠AFD=45°，

∴AD=AF，

∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，

∴BF=BC；

（2）连接FC．

设AD=AF=x，BC=BF=y．

连接CF，作DH⊥BC于H，易证矩形ABHD、直角三角形CDF，

又∵E是CD中点，

∴CD=2EF=2a，

由勾股定理得x ²+y ²=2a ²…①，

有直角梯形的面积公式可得：（x+y） ²=2m…②

②-①，得xy=m-a ²

∵S _△DFC=S _梯形ABCD-S _△AFD-S _△BFC=

1

2 （x+y） ²-

1

2 x ²-

1

2 y ²=xy．

∴S _△DEF=

1

2 S _△DFC=

1

2 m-

1

2 a ²．