高中曲线与方程问题
1.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F（√7,0）,直线y=x-1与其交于M、N两点,MN中点的横坐标为-2/3,则此双曲线方程是----------.
2.已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,∠BAC=60°,当BC在圆上运动时,BC中点的轨迹方程是----------.
3.已知A（4,0）,B（2,2）是椭圆X2/25+Y2/9=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值-----------.
4.高5米和3米的旗杆在水平地面上,如果把两旗杆底部的坐标分别定为A(-5,0),B(5,0),则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是------.
【1】联立
直线y=x-1
x^2/a^2-y^2/b^2=1
有(1/a^2-1/b^2)x^2+2x/b^2-1-1/b^2=0
又有MN中点的横坐标为-2/3
所以x1+x2/2=a^2/(a^2-b^2)=-2/3 --------------------(1)
一个焦点为F（√7,0）则有c^2=a^2+b^2=7----------(2)
联立（1）（2）可得a^2=2,b^2=5
所以待求双曲线方程为x^2/2-y^2/5=1
【2】首先连接圆心OB OC 做OK垂直BC于K点
由于A=60°所以∠BOC=120° 等腰三角形OBC的顶角为120° 所以OK=0.5OB=0.5R=0.5
显然K点为BC中点 又有OK=0.5
所以K点轨迹为圆心为原点半径为0.5的圆：x^2+y^2=1/4
【3】自行画出椭圆图形,作出椭圆左焦点F（-4,0） 显然A点为右焦点
通过椭圆第一定义有：MA+MF=2a=10
则MA+MB=2a-MF+MB
在三角形MFB中有：|MB-MF|≤BF=2√10
所以MA+MB=2a-MF+MB∈[10-2√10,10+2√10]
∴(MA+MB)max=(2a-MF+MB)max=10+2√10
【4】若该点在直线AB上 则有2/-10=3/5-x x=20
若该点在[-5,5]内 不妨设仰角为b则有
5cotb+3cotb=10
x=5cotb-5
显然x=1.25
实际上如果在X轴上看 本题只有2个点满足条件
若从空中俯视旗杆 则其实满足条件的地面点轨迹是2条直线
希望可以帮到你 祝学业进步~