解题思路：设两个独立事件A和B发生的概率分别为x，y，结合题中的条件得到（1-x）（1-y）=[1/9]，x=y，进而解方程组求出答案．
设两个独立事件A和B发生的概率分别为x，y，
∴（1-x）（1-y）=[1/9]，
∵A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，
∴x（1-y）=（1-x）y，即x=y，
∴（1-x）2=[1/9]，解得：x=[2/3]，
∴事件A发生的概率为[2/3]．
故答案为：[2/3]．
点评：
本题考点： 相互独立事件的概率乘法公式．
考点点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，此题属于基础题只要计算正确即可得到全分，此类题目在考试中一般以选择题或者填空题的形式出现．