解题思路：先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2-4p2=n2，再把此方程化为完全平方的形式，再根据q-n与q+n同为偶数列出关于n、p、q的方程组，用p表示出q，再根据q-n与q+n同为偶数而p．q为质数可知p=2，代入关于p、q的式子，求出符合条件的p、q的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理数的概念进行解答即可．
设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2-4p2=n2，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p2．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：
q−n＝2
q+n＝2p2、
q−n＝4
q+n＝p2、
q−n＝p
q+n＝4p、
q−n＝2p
q+n＝2p、
点评：
本题考点： 质数与合数；根的判别式．
考点点评： 本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大．