Question

1•1!+2•2!+...+n•n!=(n+1)!-1 用数学归纳法证明

Answer 1

证明1当n=1时,左边=1*1!=1,右边=(1+1)!-1=2-1=1

即左边=右边

2假设n=k（k≥1）是结论成立

即1•1!+2•2!+...+k•k!=(k+1)!-1

那么当n=k+1时,

1•1!+2•2!+...+k•k!+（k+1）（k+1）!

=(k+1)!-1+（k+1）（k+1）!

=(k+1)!+（k+1）（k+1）!-1

=[1+（k+1）]（k+1）!-1

=（k+2）（k+1）!-1

=（k+2）!-1

=（k+1+1）!-1

即n=k+1式结论成立

故综上知原命题成立.