解题思路:由于题干中D是BC或其延长线上一点,所以应分两种情况进行讨论;
(1)连BE,可得△ABE∽△ADC,进而可得结论;
(2)当其在BC的延长线上时,同样亦可得△AEB∽△ACD,所以当点D在BC边上或其延长线上时,总有AD•AE为定值.
证明:如图(1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连接BE,
则∠E=∠C,
∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ADC.
∴[AB/AD=
AE
AC],
即AD•AE=AB•AC为定值.
如图(2),当点D在BC的延长线上时,
∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.
∴△AEB∽△ACD,
∴[AB/AD=
AE
AC]
即AD•AE=AB•AC为定值.
综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,
只要∠CAD=∠BAE,总有AD•AE为定值.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;圆周角定理.
考点点评: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题,可先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,不难发现△ACD∽△AEB,所以AD•AE=AB•AC,因为已知AB,AC均为定值.再就一般情况分点D在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.