已知△ABC内接于⊙O,D是BC或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD•AE为

1个回答

  • 解题思路:由于题干中D是BC或其延长线上一点,所以应分两种情况进行讨论;

    (1)连BE,可得△ABE∽△ADC,进而可得结论;

    (2)当其在BC的延长线上时,同样亦可得△AEB∽△ACD,所以当点D在BC边上或其延长线上时,总有AD•AE为定值.

    证明:如图(1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连接BE,

    则∠E=∠C,

    ∠BAE=∠CAD,

    ∴△ABE∽△ADC.

    ∴[AB/AD=

    AE

    AC],

    即AD•AE=AB•AC为定值.

    如图(2),当点D在BC的延长线上时,

    ∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.

    ∴△AEB∽△ACD,

    ∴[AB/AD=

    AE

    AC]

    即AD•AE=AB•AC为定值.

    综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,

    只要∠CAD=∠BAE,总有AD•AE为定值.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;圆周角定理.

    考点点评: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题,可先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,不难发现△ACD∽△AEB,所以AD•AE=AB•AC,因为已知AB,AC均为定值.再就一般情况分点D在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.