Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧AC中点，BD交AC于点E．

Answer 1

解题思路：（1）欲证AD2=DE•DB，D是劣弧 AC的中点，有∠DAC=∠ABD，又∠ADB公共，证明△ABD∽△AED得出相似比；（2）欲求DE的长，由AD2=DE•DB知，需求出AD、DB的长，（CB是直径，则△BCD是直角三角形，勾股定理求出BD的长，AD=CD）．

（1）证明：由D是劣弧

AC的中点，得

AD＝

DC⇒∠ABD=∠DAC，

又∵∠ADB=∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴[AD/DE＝

DB

AD]，

∴AD²=DE•DB；

（2）由D是劣弧

AC的中点，得AD=DC，则DC²=DE•DB

∵CB是直径，

∴△BCD是直角三角形．

∴BD=

BC2−CD2=

(13)2−(5)2=12；

由DA²=DE•DB得，（5）²=12DE，

解得DE=[25/12]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．