法一,你给的这个函数族就是傅里叶变换的基!傅里叶变换理论就是建立在这组基是正交的基础上的,找本高数书,翻到“傅里叶级数”那一章,应该有证明这组基是正交的过程.
法二,自己证明
所谓“a,b正交”,就是“a,b内积为0”,这两句话是一个意思.而函数空间的内积定义已经给出,那我们只要带进去算一算,到底内积是不是为0可以了.如果这组基里不同两个元素的内积都是0,那就是正交函数簇.
比如先看1和其他所有元素的内积：
那就是f=1,g=sinx,sin2x,...,cosx,cos2x...
∫[-π->π]f(x)g(x)dx
=∫[-π->π]1*sin(nx)dx
=-[cos(nx)]/n | 上π,下-π
=0
.
再证明1和cosnx,sinnx和sinmx,cosnx和cosmx,sinnx和cosmx的内积都是0就可以了,其实高数书上也就是这样证明的.这个求积分应该不难吧,sin和cos相乘,用一次积化和差公式,就可以积分出原函数了,在把±π代入进去看看就行了