高一函数题:已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.

2个回答

  • 令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f(t+2-4)=-f(t+2)

    即f(t-2)=-f(t+2)

    又f(x)是奇函数 f(t-2)=-f(2-t)

    所以 -f(t+2)=-f(2-t) 即 f(2+t)=f(2-t)(1)式

    即直线x=2是f(x)对称轴

    接下来画图就可以说明 显然奇函数f(0)=0

    也可简单算得 f(-4)=-f(0)=0 f(x)以8为周期 f(-8)=0

    f(4)=0 f(8)=0

    画图 先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f(0)=0

    再根据x=2是对称轴画[2,4]段

    在根据f(x)是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段

    再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称

    最后根据原点对称画[-8,-4]段

    画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m(m>0)与f(x)的交点

    根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称 另外两个在区间(0,4)关于x=2对称

    所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8

    参考以下:

    f(x)为奇函数,f(0)=0,

    f(x-4)=-f(x),f(4)=0,

    f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.

    在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),

    在区间【4,8】f(x)