Question

已知数列{an}满足下列条件：①首项a1=a，（a＞3，a∈N*）；②当an=3k，（k∈N*）时，an+1=an3；③

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当a₄=1时，则a₃=3，再考虑a₂，即可得出结论；

（II）当a=2014时，求出数列的项，得出期为3的数列，即可求出a₂₀₁₄；

（Ⅲ）分类讨论，证明当a_n＞3时，必有a_n-a_n+3＞0，因

a

n

∈

N

*

，故a_n-a_n+3≥1，即可得出结论．

（I）当a₄=1时，因为a_n+1=

an

3，所以a₃=3，

此时，若a₂=2，则a=6；

若a₂=9，则a=27或8，

综上所述，a之值为6或8或27．…（4分）

（II）当a=2014时，a₂=2015，a₃=2016，a₄=672，a₅=224，

a₆=225，a₇=75，a₈=25，a₉=26，a₁₀=27，a₁₁=9，a₁₂=3，a₁₃=1，a₁₄=2，a₁₅=3，

以下出现周期为3的数列，

从而a₂₀₁₄=a₁₃=1；…（8分）

（III）证明：由条件知：若an＝3k，(k∈N*)，则an+1＝

an

3，an+3≤

an

3+2；

若an＝3k+1，(k∈N*)，则a_n+1=a_n+1=3k+2，a_n+2=3k+3，

an+3＝k+1＜

1

3an+2；

若an＝3k+2，(k∈N*)，则a_n+1=a_n+1=3k+3，an+2＝

1

3(an+1)，an+3≤

1

3(an+1)+1＜

1

3an+2；…（13分）

综上所述，an+3≤

1

3an+2，从而an−an+3≥

2

3(an−3)，

故当a_n＞3时，必有a_n-a_n+3＞0，因an∈N*，故a_n-a_n+3≥1，

所以数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3（否则会与上述结论矛盾！）

若a_m=3，则a_m+1=1，a_m+2=2；

若a_m=2，则a_m+1=3，a_m+2=1，

若a_m=1，则a_m+1=2，a_m+2=3，

综上所述，正整数3必为数列{a_n}中的某一项．…（16分）

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．