Question

n为任何整数,求证n(n+1)(n+2)/6是整数.

Answer 1

证明:当n=0时,3/6=1/2不是整数,

因此n=0除外

除0之外的任何整数,有

n＝1时,显然成立.

假设当n＝k（k为大于或等于1的正整数）,命题成立；则当 n ＝k+1时,n(n+1)(2n+1)＝(k+1)(k+2)(2k＋3)＝(k+1)*[k(2k+1)+6(k+1)]＝k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)

由假设,k(k+1)(2k+1)是6的倍数,而显然6(k+1)(k+1)也是6的倍数,所以n ＝k+1时,n(n+1)(2n+1)也是6的倍数.

综合1和2.可知当n为任何整数时,n(n+1)(2n+1)/6是整数

同理可以证明

当n＝k（k为小于或等于-1的负整数）时的情况.