角平分线的定义，∠ABD=∠CBD，SAS，∠ADB=∠CDB，全等三角形的对应角相等，PM⊥AD PN⊥CD，PM=PN。
根据角平分线的定义可得出∠ABD=∠CBD，则可证明△ABD≌△CBD，从而得出∠ADB=∠CDB，再由PM⊥AD，PN⊥CD，得出PM=PN．
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD （角平分线的定义）
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD SAS
∴∠ADB=∠CDB （全等三角形的对应角相等）
又∵PM⊥ADPN⊥CD（已知），
∴PM=PN．
故答案为：角平分线的定义，∠ABD=∠CBD，SAS，∠ADB=∠CDB，PM⊥ADPN⊥CD，PM=PN．
考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及角平分线的性质，是基础知识要熟练掌握