解题思路：（1）先写出g（5）=
a
5
−
a
−5
2
再探究用f（2），f（3），g（2），g（3）来表示它．
（2）考查（1）中的结论，观察自变量之间的关系，得出不念旧恶猜想，再进行验证证明．
（1）由f（3）g（2）+f（2）g（3）=
a3+a−3
2×
a2−a−2
2+
a2+a−2
2×
a3−a−3
2=
a5−a−5
2，
又g（5）=
a5−a−5
2，
因此 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3）．
（2）由 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3），即g（2+3）=f（3）g（2）+f（2）g（3），
于是推测g（x+y）=f（y）g（x）+f（x）g（y），
证明：因为f(x)＝
ax+a−x
2，g(x)＝
ax−a−x
2（大前提）．
所以g(x+y)＝
ax+y−a−(x+y)
2，g(y)＝
ay−a−y
2，f(y)＝
ay+a−y
2，（小前提及结论）
所以
f（x）g（y）+f（y）g（x）=
ax+a−x
2×
ay−a−y
2+
ay+a−y
2×
ax−a−x
2
点评：
本题考点： 归纳推理．
考点点评： 本题考查归纳推理，求解的关键是根据题设中的条件总结出规律并加以规范．归纳推理的结论不一定正确，作为发现新问题，发现新规律思维方式，归纳推理应用很广泛．