Question

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn．若Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），则数列{an+1}是等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）根据原命题与逆命题之间的关系，写出它的逆命题即可；

（2）根据等比数列的定义，结合前n项和公式，即可证明数列{a_n+1}是等比数列．

（1）∵原命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），则数列{a_n+1}是等比数列；

∴它的逆命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若数列{a_n+1}是等比数列，则S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）；

（2）证明：在数列{a_n}中，a₁=5，前n项和为S_n，

且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），

∴S_n=2S_n-1+（n-1）+5，

∴（S_n+1-S_n）=2（S_n-S_n-1）+[n-（n-1）]+（5-5）；

即a_n+1=2a_n+1，

∴a_n+1+1=2a_n+2，

∴

an+1+1

an+1=2；

∴数列{a_n+1}是以公比q=2，首项为a₁+1=5+1=6的等比数列．

∴原命题是真命题．

点评：

本题考点： 四种命题．

考点点评： 本题考查了四种命题之间的关系，也考查了等比数列的定义与前n项和公式的应用问题，是基础题．