Question

现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考

Answer 1

解题思路：（1）根据一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，可得x2+4xy=4800，进而可确定x与y的关系式；（2）铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x24800−x24x＝−14x3+1200x，求导函数，确定函数的极值，极大值，也是最大值．

（1）由题意得x²+4xy=4800，

即y＝

4800−x2

4x，0＜x＜60．（6分）

（2）铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x2

4800−x2

4x＝−

1

4x3+1200x，（10分）

V′(x)＝−

3

4x2+1200，令V′（x）=0，得x=40，（12分）

因为x∈（0，40），V′（x）＞0，V（x）是增函数；x∈（40，60），V'（x）＜0，V（x）是减函数，

所以V(x)＝−

1

4x3+1200x，在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm³．

答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm³．（14分）

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

考点点评： 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．