(1)因为A,C两点的横坐标分别为1,4,
所以点A(1,0).(1分)
又点A,B关于对称轴x=4对称,点B(7,0).(2分)
(2)因为二次函数y=ax 2+bx-7的图象经过点A(1,0),B(7,0).
所以
a+b-7=0
49a+7b-7=0 (4分)
解得:
a=-1
b=8 (6分).
所以二次函数的表达式为y=-x 2+8x-7.(7分)
(3)假设抛物线上存在点P(x,y),使得∠BAP=45°(8分)
①当点P在x轴上方时有x-1=y,
∴x-1=-x 2+8x-7,
即x 2-7x+6=0.
解得:x=6或x=1(不合题意舍去)
∴y=-6 2+8×6-7=5.
∴点P为(6,5).(9分)
此时,S △ABP=
1
2 ×(7-1)×5=
30
2 =15(10分).
②当点P在x轴的下方时,有x-1=-y.
∴x-1=x 2-8x+7,
解得:x=8或x=1(不合题意舍去)
∴y=-8 2+8×8-7=-7.
∴点P为(8,-7).(11分)
此时,S △ABP=
1
2 ×(7-1)×7=
42
2 =21(12分).